Saturday, February 19, 2011

फायनान्सची तोंडओळख (भाग २): Annuity

मागील भागात आपण एकदा एकरकमी पैसे घेऊन त्यावर अनंतकाळ व्याज देत राहणे (Perpetuity) ची आजची किंमत (Present Value) कशी काढावी हे बघितले.पण अर्थातच Perpetuity हा आपल्या दैनंदिन जीवनात फारसा उपयोगी प्रकार नाही.बहुतांश बॉंड हे Perpetual bonds नसतात. तसेच आपण घरासाठी बॅंकेचे कर्ज घेतले तर बॅंक आज पैसे घ्या पण अनंतकाळ व्याज देत राहा असे म्हणत नाही.त्याचप्रमाणे बॅंकेच्या कर्जाचे मूळ मुद्दलही १५ किंवा २० वर्षांत परत करावे लागते.तेव्हा आपण या भागात दैनंदिन जीवनात उपयोगाचा आणि त्यामुळे आपल्या सगळ्यांच्याच जिव्हाळ्याचा प्रकार—Annuity बघू. Annuity मध्ये दर वर्षी (किंवा प्रत्येक ठराविक कालावधीनंतर) पण कधीतरी संपणारे सारख्या रकमेचे कॅश फ्लो असतात. उदाहरण घेऊनच Annuity म्हणजे नक्की काय आणि त्याची Present Value कशी काढावी हे बघता येईल.

आपण मागील भागात Present Value आणि Future Value ची खालील सूत्रे बघितली.


आता परत वळू या Annuity कडे. एक साधे उदाहरण म्हणजे समजा व्याजाचे दर दसादशे १०% आहेत आणि मी या वर्षाच्या शेवटापासून (किंवा पुढील वर्षाच्या सुरवातीपासून) आणखी ५ वर्षे दरवर्षी १००० रूपये बॅंकेत टाकणार आहे. तर माझ्याकडे ५ वर्षांच्या शेवटी किती रूपये होतील? या उदाहरणावरून Annuity च्या संकल्पनेची उपयुक्तता पटेल.अशा उदाहरणात छोटीशी आकृती काढली तर ते सोपे पडेल.त्या आकृतीवरून कळेल की या वर्षाची शेवट म्हणजेच पुढच्या वर्षाची सुरवात असे म्हणता येईल.दोन्ही approach सारखेच आहेत आणि त्यामुळे उत्तरही सारखेच येते.


हे उदाहरण पुढील दोन Perpetuity मध्ये विभागता येईल—पहिली Perpetuity पहिल्या वर्षाच्या शेवटीपासून (किंवा दुसऱ्या वर्षाच्या सुरवातीपासून) सुरू होऊन अनंतकाळ दरवर्षी १००० रूपये भरायची तर दुसरी Perpetuity सहाव्या वर्षाच्या शेवटपासून (किंवा सातव्या वर्षाच्या सुरवातीपासून) सुरू होऊन अनंतकाळ दरवर्षी -१००० रूपये भरायची (म्हणजे सहाव्या वर्षाच्या शेवटीपासून म्हणजेच सातव्या वर्षाच्या सुरवातीपासून) दरवर्षी हजार रूपये काढून घ्यायची)!! हे पुढील आकृतीत दाखवता येईल.




या दोन Perpetuity चा परिणाम म्हणजे आपल्याला पाहिजे असलेली Annuity.



जागेअभावी इथे केवळ पहिलेच वर्ष दाखविले आहे.त्यानंतरची वर्षे त्या संदर्भातून समजतीलच.आपल्याला पाहिजे असलेली Annuity या दोन Perpetuity चा एकत्रित परिणाम आहे कारण सहाव्या वर्षाच्या शेवटपासून +१००० आणि -१००० असे कॅश फ्लो या दोन Perpetuity मध्ये आहेत त्यामुळे सहाव्या वर्षाच्या शेवटपासून त्या दोन Perpetuity चा परिणाम शून्य असेल.
आपण मागच्या भागात बघितले की Perpetuity ची Present Value असेल

इथे P म्हणजे दरवर्षीचा कॅश फ्लो (या उदाहरणात १००० रूपये) आणि R म्हणजे व्याजाचा दर (या उदाहरणात १०%)
तेव्हा पहिल्या Perpetuity ची Present Value असेल १००० भागिले १०% (किंवा ०.१) बरोबर १० हजार रूपये. याचाच अर्थ व्याजाचे दर जर १०% असतील तर या वर्षाच्या शेवटपासून (किंवा पुढच्या वर्षाच्या सुरवातीपासून) दरवर्षी १००० रूपये अनंतकाळ मिळत राहणे आणि आज (म्हणजे पहिल्या वर्षाच्या सुरवातीला) एकरकमी १० हजार रूपये मिळणे हे सारखेच आहे.

दुसऱ्या Perpetuity ची Present Value पण असेल -१००० भागिले १०% (किंवा ०.१) बरोबर -१० हजार रूपये.पण इथे एक गोष्ट लक्षात घ्यायला हवी आणि ती म्हणजे दुसरी Perpetuity सहाव्या वर्षाच्या शेवटपासून सुरू होणार आहे.तेव्हा त्या Perpetuity ची पाचव्या वर्षाच्या शेवटी Present Value असेल -१० हजार रूपये. म्हणजेच आपल्याकडे आता पुढीलप्रमाणे effective cash flow झाले:



याचाच अर्थ आपण दोन Perpetuity ना केवळ दोन एका वेळच्या equivalent कॅश फ्लो च्या स्वरूपात आणले.
आपण दरवर्षी १००० रूपये बॅंकेत टाकत असू आणि व्याजाचे दर १०% असतील तर आपल्याकडे पाचव्या वर्षाच्या शेवटी किती पैसे जमतील याचे उत्तर आपल्याला काढायचे आहे.म्हणजेच आपल्याला दोन्ही कॅश फ्लो पाचव्या वर्षाच्या शेवटपर्यंत न्यायचे आहेत.त्यातील एक कॅश फ्लो आधीच पाचव्या वर्षाच्या शेवटी आहे.तेव्हा पहिल्या वर्षाच्या सुरवातीचा (म्हणजे आजचा) कॅश फ्लो पाचव्या वर्षाच्या शेवटी न्यायचा आहे. म्हणजेच पहिल्या वर्षाच्या सुरवातीला (म्हणजे आज) १० हजार रूपये कॅश फ्लो आहे त्याची पाच वर्षांनंतरची किंमत (Future Value) किती हे काढायचे आहे.त्यासाठी परत एकदा वर दिलेली Future Value चे सूत्र उपयोगात आणू:


इथे P = १० हजार रूपये, R= १०% आणि N=५ वर्षे. इथे N ची किंमत ५ वर्षे आहे हे वरील आकृतीवरून लक्षात येईलच.त्यामुळे अशा उदाहरणात व्यवस्थित आकृती काढणे महत्वाचे असते.

तेव्हा आपल्याला हवी असलेली Future Value असेल:

म्हणजेच आपल्याकडे पाचव्या वर्षी दोन कॅश फ्लो झाले: एक १६१०५ रूपये १० पैशाचा आणि दुसरा -१० हजार रूपयांचा. म्हणजेच आपल्याला पाहिजे असलेले उत्तर आहे: १६ हजार १०५ रूपये १० पैसे वजा १० हजार बरोबर ६ हजार १०५ रूपये १० पैसे.

तेव्हा आपण व्याजाचे दर माहित असतील तर कॅश फ्लोचा कोणत्याही वर्षातून कोणत्याही वर्षाचा equivalent cash flow काढू शकतो.तसेच कॅश फ्लो ची बेरीज वजाबाकी करता येते पण काळजी घ्यायची की ते कॅश फ्लो एकाच काळातील हवेत.म्हणजे एक कॅश फ्लो पाचव्या वर्षाच्या शेवटीचा आणि दुसरा कॅश फ्लो पहिल्या वर्षाच्या सुरवातीचा (म्हणजे आजचा) अशा परिस्थितीत त्यांची डायरेक्ट बेरीज वजाबाकी करता येणार नाही.त्यासाठी वर दाखविल्याप्रमाणे कॅश फ्लो एकाच वर्षात रूपांतरीत करणे गरजेचे आहे.

हे सगळे सांगितले कारण त्या मागचे तत्व माहित असावे.प्रत्यक्षात आपल्याला MS Excel मध्ये एका मिनिटात उत्तर कळू शकेल.ते कसे ते पुढे दाखविले आहे.




MS Excel मध्ये FV हे एक Built-in function आहे.ते कसे वापरायचे हे वर दाखवले आहे.इथे १००० रूपये कॅश फ्लो ला Cashflow नावाने, ५ वर्षे कालावधीला Years नावाने तर १०% व्याजदराला Rate नावाने variables घेतली आहेत आणि ती लाल अक्षरात दाखविल्याप्रमाणे FV च्या function मध्ये वापरली आहेत.अशी variables वापरायची नसतील तर संबंधित सेलचा address FV या function ला द्यावा. इथे काळजी घ्यायची म्हणजे FV हे function अशा पध्दतीने आहे की त्यात कॅश फ्लो धन असेल तर Future Value ऋण असते. Future Value पण धन यावी म्हणून –FV असे म्हटले आहे.


आता आपल्या सगळ्यांच्याच जिव्हाळ्याचे एक उदाहरण घेऊन हा भाग संपवतो.समजा आपण घर घेण्यासाठी बॅंकेकडून ५० लाखाचे कर्ज २५ वर्षांसाठी घेतले आहे आणि व्याजाचा दर १०.७५% आहे.तर आपला कर्जाचा वार्षिक हप्ता किती पडेल?इथे एक गोष्ट लक्षात घ्यायला हवी की बॅंकेने आता ५० लाख रूपये कर्ज दिले आहे आणि आपण ते पुढील २५ वर्षे हप्त्यातून फेडायचे आहे.म्हणजेच बॅंकेच्या दृष्टीने आपल्याला दिलेल्या कर्जाची Present Value -५० लाख आहे.पुढील २५ वर्षे आपण ते हप्ते फेडायचे आहेत.बॅंक कर्जाचे हप्ते अशा पध्दतीने ठेवेल की पुढील २५ वर्षे आपण बॅंकेला जो कॅश फ्लो दरवर्षी देऊ त्याची आजची किंमत (Present Value) ५० लाख रूपये असेल.म्हणजेच बॅंकेने दिलेले कर्ज फिटेल. त्यासाठी MS Excel मध्ये PMT हे एक Built-in function आहे.त्याचा वापर पुढील आकृतीत करून दाखवला आहे. इथे ५० लाख रूपये या कर्जाच्या रकमेसाठी PV नावाचे एक variable घेतले आहे.



म्हणजेच ५० लाख रूपये कर्जावर आपल्याला दरवर्षी ५ लाख ८२ हजार ८९३ रूपये ७५ पैसे इतका हप्ता बसेल. अशाप्रकारे आपल्याला कर्जाच्या विविध रकमा, व्याजाचे विविध दर आणि विविध कालावधी घेऊन नक्की किती हप्ता भरावा लागेल हे काढता येईल.

या भागात आपण Annuity ही महत्वाची संकल्पना बघितली.या संकल्पनेतून Time Value of Money ही संकल्पना अधिक चांगल्या पध्दतीने समजली असेल.व्याजाचे दर माहित असतील तर एका कालावधीतील कॅश फ्लो चा दुसऱ्या कोणत्याही कालावधीतील equivalent cash flow काढता येऊ शकतो.आणि त्यातूनच कर्जाचे हप्ते किती, दरवर्षी अमुक इतके पैसे साठवले तर १० वर्षांनंतर किती पैसे जमतील अशा पध्दतीच्या दैनंदिन जीवनातील उदाहरणे सोडवायला त्याचा उपयोग होतो.

या भागातील प्रश्न: आपण पहिल्या उदाहरणात बघितले की मी समजा पहिल्या वर्षाच्या शेवटपासून दरवर्षी १००० रूपये बॅंकेत ठेवले आणि मला त्यावर १०% व्याज मिळणार असेल तर माझ्याकडे पाचव्या वर्षाच्या शेवटी ६१०५ रूपये १० पैसे जमतील.समजा मी पहिल्या वर्षाच्या सुरवातीपासूनच (म्हणजे लगेच आजच) दरवर्षी १००० रूपये बॅंकेत ठेवायला सुरवात केली आणि असे पाच कॅश फ्लो केले (म्हणजेच आपण वर उदाहरणात बघितलेला कॅश फ्लो चा पॅटर्न बारा महिने अलीकडे सरकला) तर ६१०५ रूपये १० पैसे हा आकडा बदलेल का? आणि कितीने? अनेकदा प्रश्नांची उत्तरे शोधायचा प्रयत्न केल्यास संकल्पना अधिक चांगल्या कळतात म्हणून हा प्रश्न. 

2 comments:

Girish said...

नमस्कार मंडळी,

आता वळूया या भागात विचारलेल्या प्रश्नाकडे.बॉंडवर गुंतवणूकदारांनी मागितलेले व्याज हे Risk Free Rate + Default premium+ Inflation premium + Liquidity premium इतके असते. आता प्रश्न होता की यात आणखी कोणती गोष्ट आहे का?

सोयीसाठी आपण दोन गोष्टींचा विचार करू.समजा मी तुमच्याकडून "क्ष" रूपये उधार घेतले आहेत आणि पहिल्या केसमध्ये मी एका वर्षाने १०० रूपये परत करणार आहे आणि दुसऱ्या केसमध्ये मी दहा वर्षांनी १०० रूपये परत करणार आहे.आणि तशी प्रॉमिसरी नोट मी दिली आहे.तुम्हाला मधल्या काळात पैशाची गरज पडल्यास ती नोट तुम्ही दुसऱ्या कोणाला विकून पैसे उभे करू शकता.उदाहरणाच्या सोयीसाठी इतर Premium शून्य धरू.

समजा व्याजाचे दर ४% आहेत.तर पहिल्या केसमध्ये "क्ष" ची किंमत असेल ४% प्रमाणे एक वर्षाची १०० रूपयाची PV. ती किंमत असेल १०० भागिले १.०४ बरोबर ९६ रूपये १५ पैसे. तर दुसऱ्या केसमध्ये "क्ष" ची किंमत असेल ४% प्रमाणे १० वर्षांची १०० रूपयाची PV. ती किंमत असेल १०० भागिले (१.०४ चा दहावा घात) = ६७ रूपये ५६ पैसे.

समजा मी प्रॉमिसरी नोट दिल्याच्या दुसऱ्या मिनिटाला व्याजाचे दर ५% झाले.तर पहिल्या केसमध्ये "क्ष" ची किंमत झाली १०० भागिले १.०५ बरोबर ९५ रूपये २४ पैसे तर दुसऱ्या केसमध्ये "क्ष" ची किंमत झाली १०० भागिले (१.०५ चा दहावा घात) = ६१ रूपये ३९ पैसे.

म्हणजेच आता तुम्हाला पैशाची गरज पडली तर तुम्हाला ती नोट विकून पहिल्या केसमध्ये ९५ रूपये २४ पैसे तर दुसऱ्या केसमध्ये ६१ रूपये ३९ पैसे मिळतील. पूर्वी ही रक्कम अनुक्रमे ९६ रूपये १५ पैसे आणि ६७ रूपये ५६ पैसे होती.म्हणजे व्याजाचे दर वाढल्यामुळे पहिल्या केसमध्ये तुमचे ९१ पैसे (म्हणजेच ०.९५%) तर दुसऱ्या केसमध्ये तुमचे ६ रूपये १७ पैसे (म्हणजेच ९.१३%) नुकसान झाले.

आता दुसऱ्या केसमध्ये झालेले नुकसान जास्त आहे हा योगायोग आहे का?तर तसे नाही.जेव्हा जेव्हा बॉंडची maturity जास्त असते तेव्हा तेव्हा तो बॉंड व्याजाच्या दरातील बदलांना अधिक संवेदनाक्षम असतो (sensitive). In general, जेवढी maturity जास्त तेवढी व्याजदरातील बदलांना संवेदनाक्षमता जास्त. (यात इतरही काही मुद्दे आहेत.ते आपण बॉंडवरील भागात बघू)

म्हणूनच व्याज दरात वाढ झाली तर दीर्घ मुदतीच्या बॉंडमध्ये गुंतवणूक करणाऱ्यांचे नुकसान जास्त होईल. म्हणूनच दीर्घ मुदतीच्या बॉंडमध्ये गुंतवणूक करण्यासाठी गुंतवणूकदार अधिक Premium ची मागणी करतात.याला आपण Longevity premium म्हणू. या Longevity premium मध्ये अजून काही मुद्द्यांचेही योगदान असते.जसा कालावधी वाढतो त्याप्रमाणे कंपनी default करायची शक्यता आणि बॉंडची दीर्घकालीन तरलता या गोष्टी कमी विश्वासाने predict करता येतात. म्हणजे एखादी कंपनी पुढच्या एक वर्षात दिवाळखोरीत जाणार नाही हे आपण मोठ्या विश्वासाने सांगू.पण तीच कंपनी पुढील ३० वर्षे दिवाळखोरीत जाणार नाही हे आपण तितक्याच विश्वासाने सांगू शकणार नाही.तेव्हा या अनिश्चिततेपासून संरक्षण म्हणून गुंतवणूकदार दीर्घ मुदतीच्या बॉंडसाठी अधिक Longevity Premium ची मागणी करतात.

http://stockcharts.com/freecharts/yieldcurve.html वरील आकृतीत १८ फेब्रुवारी २०११ अमेरिका सरकारच्या विविध मुदतीच्या बॉंडवरील व्याजदर (यिल्ड) दाखविला आहे.

Prasad said...

Thanks for posting such valuable information.
Its highly useful for someone like me who is financially illiterate.